数值广义相对论中的坐标
2008-7-24 13:10:00
坐标选择会强烈影响数值模拟稳定性，合适的坐标选择有助于数值模拟的稳定[1-2]，反之，不合适的坐标选择会让数值模拟不稳定甚至出现坐标激波[3-4]。坐标的选择分为两部分，第一是时间坐标的选择，对应于时移函数或者叫分层条件；第二是空间坐标的选择，对
应于位移矢量。最简单最直接的坐标选择莫过于设定时移函数为1，位移矢量为0。这样导致t坐标线对应类空超曲面的法矢，由于类空超曲面外曲率的迹刚好对应该类空超曲面法矢的汇聚率，而类超曲面外曲率的迹一般非0，所以上述简单坐标选择会很快导致坐标奇性产生。如果我们把超曲面外曲率的迹为0作为坐标条件（maximal slicing）就可以避免法线观者汇聚的坐标奇性出现。但是maximal slicing这个坐标条件是一个椭圆方程，椭圆方程的计算量比较大，这是其一大缺点。另外一种简单的坐标选取法是谐和函数的方法。把四个坐标都选为谐和函数是简单的办法，但此选法不能保证类时坐标永远保持类时，所以除了若干成功的例子外[5-6]，此种选法在数值相对论界还不多见。受谐和坐标的启发，人们只把时间坐标选为谐和的，称为harmonic slicing。但是人们发现，harmonic slicing避免奇性的能力不如maximal slicing的能力强[5]。于是人们进一步推广得到Bona–Masso分层条件[7]。空间坐标的不合适选取会导致本来静态的时空物理量发生变化。为了使坐标引发的物理量变化尽量小，人们采用所谓的最小变形坐标（minimal distortion）。但该种空间坐标选择需要解椭圆方程，于是人们把它推广成双曲性的gamma driver空间坐标条件[8]。实践证明Bona-Masso分层条件和gamma driver空间坐标条件搭配非常有效，也是现在数值相对论界广泛使用的坐标条件。
参考文献
[1] M. Alcubierre, B. Brugmann, P. Diener, M. Koppitz, D. Pollney, E. Seidel, and R. Takahasi, Gauge conditions for long-term numerical black hole evolutions without excision, Phys. Rev. D, 67 (2003) 084023.
[2] J. R. van Meter, J. Baker, M. Koppitz and D. Choi, How to move a black hole without excision: gauge conditions for the numerical evolution of a moving puncture, Phys. Rev. D, 73 (2006) 124011.
[3] M. Alcubierre, Appearance of coordinate shocks in hyperbolic formalisms of general relativity, Phys. Rev. D 55 (1997) 5981.
[4] M. Alcubierre and J. Masso, Pathologies of hyperbolic gauges in general relativity and other field theories, Phys. Rev. D 57 (1998) R4511.
[5] M. Shibata and T. Nakamura, Evolution of three-dimensional gravitational waves: harmonic slicing case, Phys. Rev. D 52 (1995) 5428.
[6] D. Garfinkle, Harmonic coordinate method for simulating generic singularities, Phys. Rev. D 65 (2002) 044029.
[7] C. Bona, J. Massó, E. Seidel, and J. Stela, New formalism for numerical relativity, Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 600.
[8] M. Alcubierre, B. Brugmann, D. Pollney, E. Seidel, R. Takahashi, Black hole excision for dynamic black holes, Phys. Rev. D 64 (2001) R061501.