随着人类测量技术和航天技术的长足发展，关于广义相对论的实验[1]（包括实验验证和天文物理应用两个方面）越来越多。这些实验相应地要求我们对各种比较现实的强引力系统（广义相对论效应不可忽略的系统）进行理论研究。对于爱因斯坦方程，传统的处理方法有两种：一是通过对称性约化，把复杂的爱因斯坦方程简化为简单系统来研究，如Ernst方程等；另一种方法是通过微扰法作近似处理，把爱因斯坦方程线性化，如Teukolsky方程、后牛顿近似和渐近展开等。经过近百年的研究，实践证明对爱因斯坦方程进行无对称性约化、无近似的解析处理几乎是不可能的。但是现实的强引力系统一般没有对称性，也很难找到合适的近似方法。爱因斯坦方程是一个高度非线性的方程，和处理其他的非线性物理系统类似，数值方法是无近似（排除计算误差外）地处理无对称性爱因斯坦方程很好的选择。
早在上个世纪60年代人们就开始尝试用数值方法来求解爱因斯坦方程[2]（数值广义相对论[3-4]）。但是由于爱因斯坦方程自身的复杂性（变量个数多达几十个，方程的求和项数多达几千项）和计算机技术的限制，直到上个世纪九十年代数值方法在相对论中的应用还不多。1995年以前，数值方法的应用还仅局限于轴对称甚至球对称的强引力系统。由于如前所述的实验需要和计算机技术飞速发展的支持，该研究方向在近十年来取得很大进展。比如数值方法发现了引力塌缩中的临界现象[5]并直接导致一个研究方向[6]（文献[5]被引用500多次，仅Physical Review Letters就发表相关文章近20篇）。但是，在数值求解三维空间一维时间、无对称性的爱因斯坦方程时遇到一个新问题：数值计算很容易不稳定。以强引力双星系统为例，直到2004年国际上最好的研究小组也只能稳定地数值模拟1.5个旋转轨道[7]。这个不稳定性是由爱因斯坦方程的特殊性质带来的：方程本身的复杂性、坐标选择的复杂性、时空的奇性、引力系统的多尺度性等。所以，和数值方法研究别的非线性物理问题相比，如何处理爱因斯坦方程数值求解过程中的不稳定性是数值广义相对论所特有的问题。而且这些计算稳定性问题也只能用数值的方法来解决[8]。针对这个问题，人们着手从以下四个方面来研究：1、考虑到爱因斯坦方程是一个约束系统，可以利用约束方程改写数值求解的方程形式[9]，直到目前为止被使用过的形式包括ADM, KST, Einstein-Ricci, Einstein-Bianchi, BSSN, Einstein-Chistoffel, Generalized Harmonic Formalism等等。在所有的这些形式中除ADM形式人们已明确认识到它存在一些缺陷外，其它各种形式仍在探讨之中。2、尝试各种边界条件，包括外行波条件（Sommerfeld condition），共形边界条件，微扰边界条件等等。哪种边界条件更有利于数值演化的稳定目前仍在研究当中。3、考虑到广义相对论中存在坐标奇异性这一特殊性，人们尝试用各种坐标条件来演化爱因斯坦方程。不同坐标如何影响数值求解稳定性是当前人们研究的问题之一。4、针对时空的物理奇异性，人们最初按照处理坐标奇异性类似的方法来处理（挑选避免奇异性的坐标），但是实践证明该方法不成功。目前，剪切法（excision）[10]和移动穿刺法（moving puncture）是比较成功的方法[11-12]。计算中的不稳定性问题折磨了人们十多年，对于特殊的强引力两体系统（真空情况），数值模拟的稳定性在2005年得到突破[10-12]。但这并不意味着稳定性已不再是数值广义相对论的问题，一是因为不同的强引力系统需要不同的数值演化方法才会稳定；二是人们还不清楚文献[10-12]中导致演化稳定的关键是什么。除去数值计算的稳定性，如何提高计算的准确性和用数值的方法来研究其物理性质是该方向另一重要的和有意义的研究课题。在数值方法研究强引力系统物理性质方面（这一点与数值方法研究其它的非线性物理系统类似）已取得的成果包括星体塌缩的临界行为[5]、黑洞黑洞碰撞的引力波波形[10-12]（应用于引力波探测）、黑洞黑洞双星融合后的反冲速度[13]（应用于解释星系中心质量亏损现象）等。在天文学方面还有许许多多诸如gamma射线暴，中子星稳定性等强引力场系统的问题等着数值广义相对论来解决。
综上所述，数值广义相对论是传统的广义相对论和数值计算相结合的学科，可以说是一个典型的交叉领域。它既有理论上的意义，又和实验观测密切相关。一方面它是非线性物理研究的延伸，另一方面它的结果又必然为非线性物理学增添新的内容。同时它也是把广义相对论推向实验物理甚至应用物理的必要手段。所以数值广义相对论是一个非常有实际意义和应用前景的研究方向。
参考文献
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[2] S. Hahn and R. Lindquist, The two-body problem in geometrodynamics, Ann. Phys, NY 29 (1964) 304.
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[8] M. Alcubierre, G. Allen, B. Brugmann, E. Seidel and W. Suen, Towards an understanding of the stabilities of the 3+1 evolution equations in general relativity, Phys. Rev. D 62 (2000) 124011.
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[12] J. G. Baker, J. Centrella, D. Choi, M. Koppitz, and J. Meter, Gravitational-wave extraction from an inspiraling configuration of merging black holes, Phys. Rev. Lett, 96 (2006) 111102.
[13] M. Campanelli, C. Lousto, Y. Zlochower, and D. Merritt, Maximum gravitational recoil, Phys. Rev. Lett. 98 (2007) 231102.