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Penrose 猜想的简单介绍 (作者: 白姗, 刘润球)
2008-5-30 13:58:00

在广义相对论理论中,在研究由孤立的引力源产生的时空模型时, 假设物质场的局部质量密度为正并且满足主能量条件即局部质量密度大于局部动量密度的模长,根据正能定理,时空总的质量(ADM mass)为正定。

这个结论在引力波存在的情形下也成立。正能定理的完整证明[1] 在七十年代末首先被孙理察(Schoen)和丘成桐( Yau)给出。威滕(Witten)在稍晚些时候另辟蹊径,运用旋量工具给出了另一种更为简洁的证明 [2]。

 

在相对论学界中有一个很重要的假设,便是宇宙监督假设[3]。在考查宙监督假设是否成立的过程中,彭罗斯(Penrose)从一个简单例子中得到了ADM质量的下界可以用黑洞表面积来表述的重要结论。后来人们猜测,当有黑洞作为内边界存在的一类渐近欧式初始数据所生成的时空, 在满足正能定理中的主能量条件时,该时空的ADM质量的下界仍然可以满足上述结果。 需要说明的是这里所指的黑洞定义为过去或未来俘获面 (trapped surface)。这个猜想现在被命名为彭罗斯猜想或彭罗斯不等式[4]。该猜想如果证明成立的话,将会是正能定理在含内边界的渐近欧式初始面上一个很漂亮的推广。

 

在研究彭罗斯不等式时,数学家们对渐近欧式初始数据进行了限制,要求初始数据为时间对称,即考虑该初始数据相应的类空曲面嵌入的时空时, 第二基本形式为零. 2002年, Huisken 和 Illamen [5] 证明了在上述特殊情形下彭罗斯不等式是正确的。接下来,Bray [6] 将这一不等式推广到多黑洞的时间对称的初始面上。遗憾的是,到目前为止,对于一般情形(第二基本形不为零)的证明还未找到。更困难的是,彭罗斯猜想的普适表述形式也是一个公开的问题,参见文献[7]。

 

 

参考文献:

 

[1] R.Schoen, S.T.Yau , "On the Proof of the Positive Mass Conjecture in General Relativity", Commun.Math.Phys.65,45-76(1979).

 

[2] E.Wittem,”A New Proof of the Positive Energy Theorem”,Commun,Math,Phys.80,381-402(1981).

 

[3] Penrose,”Naked Singularities”, Ann.New York Acad. Sci.224,125-134(1973).

 

[4] Felix Finster, Joel Smoller, Shing-Tung Yau, Some recent progress in classical general relativity, J. Math. Phys. 41, 3943 (2000); Marc Mars,  An overview on the Penrose inequality, Journal of Physics: Conference Series 66 (2007) 012004.

 

[5] G.Huisken, T.Illmanen, “The Riemannain Penrose Inequality”,Int.Math.Res.Not.20 1045-1058,(1997) and also on the web at

http://www.math.nwu.edu./~ilmanen.

 

[6]H.Bray, Proof of the Riemannian Penrose Conjecture Using the Positive Mass Theorem” Arxiv preprint math/9911173 (1999).

 

[7] Ishai Ben-Dov, Penrose inequality and apparent horizons, Phys. Rev. D 70, 124031 (2004).

 

 

 

 

 
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